Теория формальных систем или теория отношений?

В основе современной логики лежит математическая система, которая имеет несколько названий: формальный подход, аксиоматический метод, символическая логика, теория формальных систем. Здесь мы будем использовать последнее название (сокращенно ТФС). Этот подход начал развиваться в начале XX века, когда были открыты парадоксы теории множеств. Многие расценили эти открытия как кризис в основаниях математики. Тогда многие математики, логики и философы решили, что только ТФС может стать защитой от парадоксов и заодно - основой всей математики и логики.

Активность защитников ТФС, среди которых были многие всемирно известные математики и философы (Б. Рассел, Л. Витгенштейн, Д. Гильберт, Дж. Пеано и др.), оказалось столь сильной, что развивавшийся в то время подход к основаниям логики на основе алгебры множеств и булевой алгебры стал постепенно утрачивать свое влияние. В середине XX века своеобразным каноном для приверженцев ТФС стало многотомное математическое сочинение группы известных французских математиков, публиковавшихся под коллективным псевдонимом Н. Бурбаки. В соответствии с этим каноном из оснований математики должны были исчезнуть такие "неточные", "интуитивные" понятия как числа, пространства, геометрические фигуры, множества и т.д. По замыслу авторов этих сочинений в ней возможны только символы и последовательности символов (предложения), слабо связанные с основными понятиями прикладной математики и предложениями на естественном языке.

Оказалось, что с помощью ТФС можно изложить не только классическую логику (к ней относятся теория доказательств, математическая логика и отчасти силлогистика), но и многочисленные варианты неклассической логики (многозначная, модальная, парапротиворечивая, немонотонная и т.д.). В дальнейшем новые логики посыпались как из рога изобилия, и мало кого смущали следующие обстоятельства:

Математическая логика развивалась в XX веке как система, претендующая на то, чтобы выразить средствами ТФС все, что имеет отношение к доказательствам. Язык ТФС имеет простую структуру и содержит всего четыре компонента:

Правила вывода в ТФС сформулированы таким образом, чтобы из символьных конструкций (предложений), которые в данной системе выполняют роль аксиом или теорем, можно было получать новые символьные конструкции, которые уже понимаются как следствия или новые теоремы.

Язык математической логики является частным случаем ТФС. Математики с помощью этого языка смогли выразить некоторые другие разделы математики (например, формальную теорию множеств, формальную арифметику, теорию групп и т.д.). Но полностью избавиться от алгебраического подхода все же не удалось, так как для решения многих прикладных задач он в отличие от формального подхода оказался более простым и понятным для многих.

Законы арифметики и алгебры множеств часто используются на практике, но не в каноническом формальном виде, а с использованием "устаревших" средств выражения, близких к алгебраическому подходу. И дело не только в "теоретической безграмотности" разработчиков алгоритмов и вычислительных компьютерных программ, а в том, что использование канонов ТФС в этом деле превращает задачу построения эффективных алгоритмов в чрезвычайно трудно решаемую, а порой и неразрешимую.

К тому же при анализе рассуждений часто нужно решать задачи, которые трудно выразить как теоремы ТФС. К этим задачам относятся такие, как анализ правильности (корректности) рассуждений, формулировка и проверка гипотез, абдукция (восстановление пропущенных посылок или "скрытых аксиом").

В то же время некоторые новые открытия в логике (исчисление предикатов, неклассические логики и т.д.) сейчас сформулированы только на языке ТФС, и возможность выразить эти системы на другом более понятном языке кажется проблематичной. Возникает вопрос: можно ли вместо символьных конструкций ТФС предложить некую новую универсальную структуру, с помощью которой можно было бы сделать логику более понятной и более практичной?

Оказывается, такая универсальная структура уже давно имеется на вооружении математиков и специалистов по информационным технологиям. Она используется при моделировании и анализе информационных и управляющих систем, она же незримо присутствует во всех структурах математической логики. Она же позволяет найти более тесную связь между основными структурами, использующимися в современной информатике. Этой универсальной структурой является "отношение". Грубо говоря, отношение - это структура, связывающая между собой совокупности однородных или разнородных объектов. Например, такие понятия как "больше", "часть целого", "причина - следствие", "уважает (кто?, кого?)", "дети - родители" и т.д., являются отношениями. В математической логике отношения выражаются с помощью предикатов и логических формул.

Становится понятным, что многие системы знаний можно представить математически не только в виде некоторого искусственного языка, но и в виде совокупности отношений, с которыми выполняются определенные операции, сопоставления и преобразования. Некоторые из этих преобразований соответствуют различным видам логического анализа рассуждений. Но общая теория отношений (ТО) пока что полностью не разработана. Широко известна реляционная алгебра, применяемая в системах управления базами данных. Известна также теория бинарных отношений и ее частные случаи - теория графов, теория частично упорядоченных множеств и теория решеток. Но они - всего лишь частные случаи ТО и пока не охватывают всех возможных моделей логического анализа.

Оказывается, ТО незаметно присутствует в математической логике в виде интерпретации основного раздела математической логики - исчисления предикатов. По сути, предикаты и логические формулы - это те же отношения, но, выраженные на языке ТФС, они значительно теряют свою структурную простоту и "наглядность" (т.е. семантику и интерпретируемость). В учебниках и монографиях по математической логике интерпретация используется лишь как необязательное пояснение. В основном же вся теоретическая база математической логики строится на основе ТФС.

Мне представляется, что путь в ТО можно проложить с помощью новой математической системы, которую я назвал Алгеброй кортежей. Начальные сведения о ней изложены во второй части курса лекций. Специалисты могут ознакомиться с алгеброй кортежей и ее приложениями по тексту доклада для конференции, проходившей в 2007 году в Институте Проблем Управления РАН.

Алгебра кортежей позволяет решать многие прикладные задачи: моделировать и анализировать сложные рассуждения; погрузиться в вероятностную логику; найти простые связи между базами данных и базами знаний; по новому понять, что такое дедукция.

Одним из частных случает ТО являются E-структуры - это заодно и частный случай частично упорядоченных множеств. С точки зрения логики E-структуры интересны тем, что позволяют значительно расширить аналитические возможности силлогистики Аристотеля и заодно применить к системам суждений методы моделирования и анализа правдоподобных рассуждений. Подход к анализу рассуждений на основе E-структур изложен в моей книге "Логика естественных рассуждений" и представлен здесь в первой части курса лекций.

Спорить о том, что важнее - ТО или ТФС - бессмысленно. У каждой из этих систем свои задачи, и одна из них - через призму ТО лучше понять несомненные достижения и недостатки ТФС - весьма своевременна.